概率论与数理统计基础

为什么有了这篇文章

按以往的风格，大概是我想做什么所以就做了什么。但这次不太一样，首先是代人上数学实验课，matlab搞得我云里雾里，一年前深以为然并给我很大影响的东西都忘到九霄云外了，老师布置个聚类分析的练习一点都不会，完全不知怎么下手。其次加上忙着准备考研，无心折腾这折腾那，虽然很有意思……，再次网上看到满天的牛，飞过来飞过去，那个自惭形晦。好了，我胡言乱语，莫深究什么意思。

想想一年了，在各个领域摸爬滚打之后发现自己一无是处，收获在哪里？只能说开阔了视野，告诉自己很多东西我曾经也知道过，思考过，选择过。

下午看了看概率论与统计，想到自己当初拿着好几本讲R的书学习的日子，现在连个痕迹都没有留下，数学建模学到的东西也忘的精光，唉，先看看基础吧。然后回到寝室，忽然就想试试sagemath和markdown……

概率论基本概念

先来个全概率公式： 设实验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1,\cdots,B_n $为S的一个划分，且 $P(B_i) > 0 (i = 1,2,\cdots,n)$,则

$$P(A)=\sum_{i=1}^n P(A \vert B_i)P(B_i)$$

再来个贝叶斯公式：

$$P(B_i \vert A) = \frac{P(A \vert B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)} , i=1,2,\cdots ,n.$$

A,B,C三个事件相互独立

$$\begin{equation*} \left. \begin{array}{l} P(AB)=P(A)P(B) \\ P(BC)=P(B)P(C) \\ P(AC)=P(A)P(C) \\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \end{array} \right\} \end{equation*}$$

离散随机变量常见分布

先来个(0-1)分布¹

X	0	1
$P_k$	1-p	p

二项分布,记为$X \sim b(n,p)$

$$P{X=k}=\binom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n.$$

泊松分布,记做$X \sim \pi(\lambda)$

$$P{X = k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots,$$

泊松定理

$$\lim\limits_{n\to \infty} \binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$$

三种连续型随机变量

均匀分布

概率密度函数，图中取$b=2,a=1$。

$$\begin{equation} f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b-a},a < x < b \\ 0, else \end{array} \right. \end{equation}$$

其分布函数为

$$\begin{equation} F(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0, x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, a \leq x < b \\ 1, x \geq b \end{array} \right. \end{equation}$$

指数分布

概率分布函数，图像中红、蓝、绿三种颜色曲线分别是$\theta$取0.5、1、2时所绘制。

$$\begin{equation} f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}, x > 0,\\ 0, else, \end{array} \right. \end{equation}$$

分布函数

$$\begin{equation} F(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1-e^{-\frac{x}{\theta}}, x > 0,\\ 0, else, \end{array} \right. \end{equation}$$

正态分布

概率密度函数,图中$\mu$为0,红、蓝、绿三种颜色图像分别取$\sigma=0.5,1,2$。

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty < x <\infty$$

分布函数

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt$$

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后记

markdown+mathjax不是一般蛋疼啊……，\$B_i,B_j\$总把i,B给强调了，让它以代码形式mathjax又不解析了……最近看不进英文的文档了，mathjax的文档胡乱翻了半天什么也没记住……

textile倒好，可没想到出现更奇葩的P(C)竟然解析成P © ……= =

总之，I hate math，以后再也不自己瞎折腾了……

Changelog

2012年07月06日 星期五 08时18分46秒

早上爬起来看看mathjax文档，然后试试发现昨天的奇葩问题消失了……懒得折腾的孩子们参考这里处理：MathJax in Markdown,想折腾的可以去折腾什么pandoc²的……

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