概率论与数理统计基础

概率论与数理统计基础

概率论与数理统计基础

为什么有了这篇文章

按以往的风格,大概是我想做什么所以就做了什么。但这次不太一样,首先是代人上数学实验课,matlab搞得我云里雾里,一年前深以为然并给我很大影响的东西都忘到九霄云外了,老师布置个聚类分析的练习一点都不会,完全不知怎么下手。其次加上忙着准备考研,无心折腾这折腾那,虽然很有意思……,再次网上看到满天的牛,飞过来飞过去,那个自惭形晦。好了,我胡言乱语,莫深究什么意思。

想想一年了,在各个领域摸爬滚打之后发现自己一无是处,收获在哪里?只能说开阔了视野,告诉自己很多东西我曾经也知道过,思考过,选择过。

下午看了看概率论与统计,想到自己当初拿着好几本讲R的书学习的日子,现在连个痕迹都没有留下,数学建模学到的东西也忘的精光,唉,先看看基础吧。然后回到寝室,忽然就想试试sagemath和markdown……

概率论基本概念

先来个全概率公式: 设实验E的样本空间为S,A为E的事件,$B\1,⋯,B\n $为S的一个划分,且 \(P(B_i) > 0 (i = 1,2,\cdots,n)\),则

\[ P(A)=\sum_{i=1}^n P(A \vert B_i)P(B_i) \]

再来个贝叶斯公式:

\[ P(B_i \vert A) = \frac{P(A \vert B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)} , i=1,2,\cdots ,n. \]

A,B,C三个事件相互独立

$$

\begin{equation*} \left. \begin{array}{l} P(AB)=P(A)P(B) \\ P(BC)=P(B)P(C) \\ P(AC)=P(A)P(C) \\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \end{array} \right\} \end{equation*}

$$

离散随机变量常见分布

先来个(0-1)分布1

X 0 1
\(P_k\) 1-p p

二项分布,记为\(X \sim b(n,p)\)

\[ P{X=k}=\binom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n. \]

泊松分布,记做\(X \sim \pi(\lambda)\)

\[ P{X = k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots, \]

泊松定理

\[ \lim\limits_{n\to \infty} \binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

三种连续型随机变量

均匀分布

概率密度函数,图中取$b=2,a=1$。

$$

\begin{equation} f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b-a},a < x < b \\ 0, else \end{array} \right. \end{equation}

$$

均匀分布概率密度

其分布函数为

$$

\begin{equation} F(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0, x $$

均匀分布分布函数

指数分布

概率分布函数,图像中红、蓝、绿三种颜色曲线分别是$θ$取0.5、1、2时所绘制。

$$

\begin{equation} f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}, x > 0,\\ 0, else, \end{array} \right. \end{equation}

$$

指数分布概率密度

分布函数

$$

\begin{equation} F(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1-e^{-\frac{x}{\theta}}, x > 0,\\ 0, else, \end{array} \right. \end{equation}

$$

指数函数分布函数

正态分布

概率密度函数,图中$μ$为0,红、蓝、绿三种颜色图像分别取$σ=0.5,1,2$。

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty < x <\infty \]

正态分布概率密度函数

分布函数

\[ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt \]


后记

markdown+mathjax不是一般蛋疼啊……,=\$Bi,Bj\$=总把=i,B=给强调了,让它以代码形式mathjax又不解析了……最近看不进英文的文档了,mathjax的文档胡乱翻了半天什么也没记住……

textile倒好,可没想到出现更奇葩的=P(C)=竟然解析成P © ……== ==

总之,I hate math,以后再也不自己瞎折腾了……

Footnotes:

1

表格做的好难看……有空再改吧

2

据说是haskell写的