SymPy Tutorial(译)

引言

SymPy是一个符号数学Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码的精简而易于理解和课扩展。SymPy完全由Python写成，不需要任何外部库。

这个教程概述和简介SymPy。阅读它能让你知道SymPy可以为你做什么。如果你想了解更多，阅读SymPy用户指南和SymPy模块参考。或者直接阅读源码。

SymPy第一步

下载它最简单的方法是去http://code.google.com/p/sympy/从“推荐下载”下载最新的压缩包。¹

解压：

tar xzf sympy-0.7.1.tar.gz

然后用Python解释器尝试它：

[lyy@arch ~]cd sympy-0.7.1
[lyy@arch ~]$ python2
Python 2.7.3 (default, Apr 24 2012, 00:00:54) 
[GCC 4.7.0 20120414 (prerelease)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, cos
>>> x = Symbol('x')
>>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)

你可以如上展示使用SymPy。如果你在你的程序中使用它的话，这确实是推荐的方法。你也可以用=./setup.py install=像所有其它Python模块一样安装它，或者仅仅在你心爱的发行版中安装相应的包，等等。

在archlinux中安装SymPy

[lyy@arch ~]$ sudo pacman -S python2-sympy
警告：python2-sympy-0.7.1-4 已经为最新 -- 重新安装
正在解决依赖关系...
正在查找内部冲突...

目标 (1)： python2-sympy-0.7.1-4

全部安装大小：25.12 MiB
净更新大小：0.00 MiB

进行安装吗？ [Y/n] 
(1/1) 正在检查软件包完整性      [###############################] 100%
(1/1) 正在加载软件包文件        [###############################] 100%
(1/1) 正在检查文件冲突          [###############################] 100%
(1/1) 正在检查可用硬盘空间      [###############################] 100%
(1/1) 正在更新 python2-sympy

其它安装SymPy的方法，查阅SymPy主页上的下载标签。

isympy控制台

为了试验新功能，或当搞清楚如何做事时，你可以使用我们对IPython的特殊封装=isympy=(它位于=/bin/isympy=中，如果你正在从源码文件夹运行的话)，它仅仅是一个已经导入相关sympy模块的标准python shell，定义了符号=x,y,z=和一些其它东西：

[lyy@arch ~]$ cd sympy 
[lyy@arch ~]$ ./bin/isympy 
IPython console for SymPy 0.7.1 (Python 2.7.3-64-bit) (ground types: python)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)

Documentation can be found at http://www.sympy.org

In [1]: (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
Out[1]: 
     2      4       6        8           
    x    5⋅x    61⋅x    277⋅x            
1 + ── + ──── + ───── + ────── + O(x**10)
    2     24     720     8064

用SymPy做计算器

SymPy有三种内建的数值类型：浮点数、有理数和整数。

有理数类用一对整数表示一个有理数：分子和分母，所以=Rational(1,2)=代表1/2,=Rational(5,2)=代表5/2等等。

>>> from sympy import *
>>> a = Rational(1,2)

>>> a
1/2

>>> a*2
1

>>> Rational(2)**50/Rational(10)**50
1/88817841970012523233890533447265625

当计算整型数据时小心处理，因为他们会截取整数部分。这就是为何：

>>> 1/2
0

>>> 1.0/2
0.5

然而你可以这样做

>>> from __future__ import division

>>> 1/2 
0.5

真正的除法将要成为python3k的标准，isympy中也是。

我们也有些特殊的常数，像e和pi，它们被视为符号(1+pi将不被数值求解，它将保持为1+pi)，并且我们可以有任意精度：

>>> pi**2
pi**2

>>> pi.evalf()
3.14159265358979

>>> (pi+exp(1)).evalf()
5.85987448204884

就像你看到的，=evalf=将表达式求解为浮点数。

这还有一个类表示数学上的无限，叫作=oo=：

>>> oo > 99999
True
>>> oo + 1
oo

符号

和其它计算机代数系统相比，在SymPy中你不得不显式地声明符号变量：

>>> from sympy import *
>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')

然后你可以使用它们：

>>> x+y+x-y
2*x

>>> (x+y)**2
(x + y)**2

>>> ((x+y)**2).expand()
x**2 + 2*x*y + y**2

使用=subs(old, new)=用其它符号和数代换它们：

>>> ((x+y)**2).subs(x, 1)
(y + 1)**2

>>> ((x+y)**2).subs(x, y)
4*y**2

对于剩余的教程，我们假设我们已经运行了：

>>> import sys
>>> oldhook = sys.displayhook
>>> sys.displayhook = pprint

这样就有漂亮的打印。参见之后的打印部分。如果你安装了unicode字体，你的输出可能看起来有点不同。(将看起来稍微好些)

代数

对部分分式分解，使用=apart(expr, x)=：

>>> 1/((x+2)*(x+1))
       1       
───────────────
(x + 1)⋅(x + 2)
>>> apart(1/((x+2)*(x+1)), x)
    1       1  
- ───── + ─────
  x + 2   x + 1
>>> (x+1)/(x-1)
x + 1
─────
x - 1
>>> apart((x+1)/(x-1), x)
      2  
1 + ─────
    x - 1

把它们重新结合起来，使用=together(expr, x)=：

>>> z = Symbol('z')
>>> together(1/x + 1/y + 1/z)
x⋅y + x⋅z + y⋅z
───────────────
     x⋅y⋅z     
>>> together(apart((x+1)/(x-1), x), x)
x + 1
─────
x - 1
>>> together(apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x), x)
       1       
───────────────
(x + 1)⋅(x + 2)

演算

极限

极限在sympy中使用很简单，它们的语法是=limit(function, variable, point)=，所以计算当x趋近于0时f(x)的极限，你可以给出=limit(f, x, 0)=：

>>> from sympy import *
>>> x=Symbol("x")
>>> limit(sin(x)/x, x, 0)
1

你也可以计算在无穷的极限：

>>> limit(sin(x)/x,x,0)
1
>>> limit(x,x,oo)
∞

对于一些不寻常的极限例子，你可以阅读这个测试文件test\_{demidovich.py}

微分

你可以使用=diff(func, var)=微分任何SymPy表达式。例如：

>>> from sympy import *
>>> x = Symbol('x')
>>> diff(sin(x), x)
cos(x)
>>> diff(sin(2*x), x)
2⋅cos(2⋅x)
>>> diff(tan(x), x)
   2       
tan (x) + 1

你可以检查正确性：

>>> limit((tan(x+y)-tan(x))/y, y, 0)
   2       
tan (x) + 1

高阶微分可以使用=diff(func, var, n)=来计算：

>>> diff(sin(2*x), x, 1)
2⋅cos(2⋅x)
>>> diff(sin(2*x), x, 2)
-4⋅sin(2⋅x)
>>> diff(sin(2*x), x, 3)
-8⋅cos(2⋅x)

级数展开

使用=.series(var, point, order)=:

>>> cos(x).series(x, 0, 10)
     2    4     6      8            
    x    x     x      x             
1 - ── + ── - ─── + ───── + O(x**10)
    2    24   720   40320 
>>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
     2      4       6        8           
    x    5⋅x    61⋅x    277⋅x            
1 + ── + ──── + ───── + ────── + O(x**10)
    2     24     720     8064

另一个简单的例子：

>>> from sympy import Integral, Symbol, pprint
>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')
>>> e = 1/(x + y)
>>> s = e.series(x, 0, 5)
>>> print(s)
1/y - x/y**2 + x**2/y**3 - x**3/y**4 + x**4/y**5 + O(x**5)
>>> pprint(s)
          2    3    4          
1   x    x    x    x           
─ - ── + ── - ── + ── + O(x**5)
y    2    3    4    5          
    y    y    y    y           
None

求和

计算给定求和变量界限的f的总和(Summation)。²

=summation(f, (i, a, b))=变量i从a到b计算f的和，也就是，

                            b
                          ____
                          \   `
summation(f, (i, a, b)) =  )    f
                          /___,
                          i = a

如果不能计算总和，它将打印相应的求和公式。求值可引入额外的极限计算：

>>> from sympy import summation, oo, symbols, log
>>> i, n, m = symbols('i n m', integer=True)
>>> summation(2*i - 1, (i, 1, n))
 2
n 
>>> summation(1/2**i, (i, 0, oo))
2
>>> summation(1/log(n)**n, (n, 2, oo))
  ∞           
 ___          
 \  `         
  \      -n   
  /   log  (n)
 /__,         
n = 2         
>>> summation(i, (i, 0, n), (n, 0, m))
 3    2    
m    m    m
── + ── + ─
6    2    3
>>> from sympy.abc import x
>>> from sympy import factorial
>>> summation(x**n/factorial(n), (n, 0, oo))
 x
ℯ

积分

通过=integrate()=功能(facility)，SymPy对基本和特殊函数定与不定积分有卓越的支持。该功能使用有力的扩展Risch-Norman算法，启发算法和模式匹配：

>>> from sympy import integrate, erf, exp, sin, log, oo, pi, sinh, symbols
>>> x, y = symbols('x,y')

你可以对基本函数积分：

>>> integrate(6*x**5, x)
 6
x 
>>> integrate(sin(x), x)
-cos(x)
>>> integrate(log(x), x)
x⋅log(x) - x
>>> integrate(2*x + sinh(x), x)
 2          
x  + cosh(x)

特殊函数也可以简单的处理：

>>> integrate(exp(-x**2)*erf(x), x)
  ⎽⎽⎽    2   
╲╱ π ⋅erf (x)
─────────────
      4

还可以计算定积分：

>>> integrate(x**3, (x, -1, 1))
0
>>> integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))
1
>>> integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))
2

反常积分也被支持：

>>> integrate(exp(-x), (x, 0, oo))
1
>>> integrate(log(x), (x, 0, 1))
-1

复数

除了复数单元=I=是虚数，符号可以被用属性创建(例如 real,positive,complex,等等)这将影响它们的表现：

>>> from sympy import Symbol, exp, I
>>> x = Symbol('x')  # a plain x with no attributes
>>> exp(I*x).expand()
 ⅈ⋅x
ℯ   
>>> exp(I*x).expand(complex=True)
   -im(x)               -im(x)           
ⅈ⋅ℯ      ⋅sin(re(x)) + ℯ      ⋅cos(re(x))
>>> x = Symbol('x', real=True)
>>> exp(I*x).expand(complex=True)
ⅈ⋅sin(x) + cos(x)

函数

三角函数:

>>> from sympy import asin, asinh, cos, sin, sinh, symbols, I
>>> x, y = symbols('x,y')
>>> sin(x+y).expand(trig=True)
sin(x)⋅cos(y) + sin(y)⋅cos(x)
>>> cos(x+y).expand(trig=True)
-sin(x)⋅sin(y) + cos(x)⋅cos(y)
>>> sin(I*x)
ⅈ⋅sinh(x)
>>> sinh(I*x)
ⅈ⋅sin(x)
>>> asinh(I)
ⅈ⋅π
───
 2 
>>> asinh(I*x)
ⅈ⋅asin(x)
>>> sin(x).series(x, 0, 10)
     3     5     7       9             
    x     x     x       x              
x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)
    6    120   5040   362880           
>>> sinh(x).series(x, 0, 10)
     3     5     7       9             
    x     x     x       x              
x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)
    6    120   5040   362880           
>>> asin(x).series(x, 0, 10)
     3      5      7       9           
    x    3⋅x    5⋅x    35⋅x            
x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)
    6     40    112     1152           
>>> asinh(x).series(x, 0, 10)
     3      5      7       9           
    x    3⋅x    5⋅x    35⋅x            
x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)
    6     40    112     1152

球谐函数：

>>> from sympy import Ylm
>>> from sympy.abc import theta, phi
>>> Ylm(1, 0, theta, phi)
  ⎽⎽⎽       
╲╱ 3 ⋅cos(θ)
────────────
      ⎽⎽⎽   
  2⋅╲╱ π    
>>> Ylm(1, 1, theta, phi)
   ⎽⎽⎽  ⅈ⋅φ       
-╲╱ 6 ⋅ℯ   ⋅sin(θ)
──────────────────
         ⎽⎽⎽      
     4⋅╲╱ π       
>>> Ylm(2, 1, theta, phi)
   ⎽⎽⎽⎽  ⅈ⋅φ              
-╲╱ 30 ⋅ℯ   ⋅sin(θ)⋅cos(θ)
──────────────────────────
             ⎽⎽⎽          
         4⋅╲╱ π

阶乘和伽马函数：

>>> from sympy import factorial, gamma, Symbol
>>> x = Symbol("x")
>>> n = Symbol("n", integer=True)
>>> factorial(x)
x!
>>> factorial(n)
n!
>>> gamma(x + 1).series(x, 0, 3) # i.e. factorial(x)
                    2  2             2  2          
                   π ⋅x    EulerGamma ⋅x           
1 - EulerGamma⋅x + ───── + ────────────── + O(x**3)
                     12          2

zeta函数：

>>> from sympy import zeta
>>> zeta(4, x)
ζ(4, x)
>>> zeta(4, 1)
 4
π 
──
90
>>> zeta(4, 2)
      4
     π 
-1 + ──
     90
>>> zeta(4, 3)
        4
  17   π 
- ── + ──
  16   90

多项式：

>>> from sympy import assoc_legendre, chebyshevt, legendre, hermite
>>> chebyshevt(2, x)
   2    
2⋅x  - 1
>>> chebyshevt(4, x)
   4      2    
8⋅x  - 8⋅x  + 1
>>> legendre(2, x)
   2    
3⋅x    1
──── - ─
 2     2
>>> legendre(8, x)
      8         6         4        2      
6435⋅x    3003⋅x    3465⋅x    315⋅x     35
─────── - ─────── + ─────── - ────── + ───
  128        32        64       32     128
>>> assoc_legendre(2, 1, x)
        ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
       ╱    2     
-3⋅x⋅╲╱  - x  + 1 
>>> assoc_legendre(2, 2, x)
     2    
- 3⋅x  + 3
>>> hermite(3, x)
   3       
8⋅x  - 12⋅x

微分方程

在 isympy中：

>>> from sympy import Function, Symbol, dsolve
>>> f = Function('f')
>>> x = Symbol('x')
>>> f(x).diff(x, x) + f(x)
         2      
        d       
f(x) + ───(f(x))
         2      
       dx       
>>> dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
f(x) = C₁⋅cos(x) + C₂⋅sin(x)

代数方程

在isympy中：

>>> from sympy import solve, symbols
>>> x, y = symbols('x,y')
>>> solve(x**4 - 1, x)
[1, -1, -ⅈ, ⅈ]
>>> solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])
{x: -3, y: 1}

线性代数

矩阵

矩阵从Matrix类创建：

>>> from sympy import Matrix, Symbol
>>> Matrix([[1,0], [0,1]])
⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

它可以包含符号：

>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')
>>> A = Matrix([[1,x], [y,1]])
>>> A
⎡1  x⎤
⎢    ⎥
⎣y  1⎦
>>> A**2
⎡x⋅y + 1    2⋅x  ⎤
⎢                ⎥
⎣  2⋅y    x⋅y + 1⎦

更多有关矩阵信息，参见线性代数教程。

模式匹配

使用=.match()=方法，和Wild类对表达式实行模式匹配。这个方法将返回一个发生替换的字典，如下：

>>> from sympy import Symbol, Wild
>>> x = Symbol('x')
>>> p = Wild('p')
>>> (5*x**2).match(p*x**2)
{p: 5}
>>> q = Wild('q')
>>> (x**2).match(p*x**q)
{p: 1, q: 2}

如果匹配失败，将返回=None=：

>>> print (x+1).match(p**x)
None

可以指定=Wild=类的排除参数去保证一些东西不出现在结果之中：

>>> p = Wild('p', exclude=[1,x])
>>> print (x+1).match(x+p) # 1 is excluded
None
>>> print (x+1).match(p+1) # x is excluded
None
>>> print (x+1).match(x+2+p) # -1 is not excluded
{p_: -1}

打印

这里有许多打印表达式的方法：

标准

这就是=str(expression)=返回的，看起来想这样：

>>> from sympy import Integral
>>> from sympy.abc import x
>>> print x**2
x**2
>>> print 1/x
1/x
>>> print Integral(x**2, x)
Integral(x**2, x)

漂亮的打印

pprint 函数产生好看的ascii艺术打印：

>>> from sympy import Integral, pprint
>>> from sympy.abc import x
>>> pprint(x**2)
 2
x 
None
>>> pprint(1/x)
1
─
x
None
>>> pprint(Integral(x**2, x))
⌠      
⎮  2   
⎮ x  dx
⌡      
None

如果你安装了unicode字体， pprint 函数将默认使用它。你可以使用 use_unicode 函数改变这个选项。：

>>> pprint(Integral(x**2, x), use_unicode=False)
  /     
 |      
 |  2   
 | x  dx
 |      
/       
None

更多好看的unicode打印另见维基Pretty Printing。

小技巧：在Python解释器中默认使用漂亮的打印，使用：

$ python
Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32)
[GCC 4.3.1] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import init_printing, var, Integral
>>> init_printing(use_unicode=False, wrap_line=False, no_global=True)
>>> var("x")
x
>>> x**3/3
 3
x
--
3
>>> Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE
  /
 |
 |  2
 | x  dx
 |
/

Python打印

>>> from sympy.printing.python import python
>>> from sympy import Integral
>>> from sympy.abc import x
>>> print python(x**2)
x = Symbol('x')
e = x**2
>>> print python(1/x)
x = Symbol('x')
e = 1/x
>>> print python(Integral(x**2, x))
x = Symbol('x')
e = Integral(x**2, x)

LaTeX打印

>>> from sympy import Integral, latex
>>> from sympy.abc import x
>>> latex(x**2)
x^{2}
>>> latex(x**2, mode='inline')
$x^{2}$
>>> latex(x**2, mode='equation')
\begin{equation}x^{2}\end{equation}
>>> latex(x**2, mode='equation*')
\begin{equation*}x^{2}\end{equation*}
>>> latex(1/x)
\frac{1}{x}
>>> latex(Integral(x**2, x))
\int x^{2}\,dx

MathML

>>> from sympy.printing.mathml import mathml
>>> from sympy import Integral, latex
>>> from sympy.abc import x
>>> print mathml(x**2)
<apply><power/><ci>x</ci><cn>2</cn></apply>
>>> print mathml(1/x)
<apply><power/><ci>x</ci><cn>-1</cn></apply>

Pylet

>>> from sympy import Integral, preview
>>> from sympy.abc import x
>>> preview(Integral(x**2, x))
This is pdfTeX, Version 3.1415926-2.4-1.40.13 (TeX Live 2012/Arch Linux)
 restricted \write18 enabled.
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LaTeX2e <2011/06/27>
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(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/eulervm.sty)
No file tmpGYREx_.aux.
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeur.fd)
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeus.fd)
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeuex.fd) [1] (./tmpGYREx_.aux) )
Output written on tmpGYREx_.dvi (1 page, 320 bytes).
Transcript written on tmpGYREx_.log.
This is dvipng 1.14 Copyright 2002-2010 Jan-Ake Larsson
[1]

如果pyglet被安装了，一个包含LaTeX渲染后表达式的pyglet窗口将被打开：

注意

isympy自动调用=pprint=,这就是为什么默认情况下你看到的是漂亮的打印。

注意有一个可用的打印模块=sympy.printing=。其它通过这个模块的打印方法是：

pretty(expr), pretty_print(expr), pprint(expr):分别漂亮的表示 expr.这是和之前描述的第二层表示是一样的。
latex(expr), print_latex(expr) ：分别返回和打印 expr 的LaTeX表示。
mathml(expr), print_mathml(expr) ：分别返回和打印 expr 的MathML表示。
print_gtk(expr) ：在Gtkmathview打印 expr ，这是一个呈现MathML代码的GTK部件。Gtkmathview要求安装。

翻译

这个教程还有其它语言：

德语

SymPy Tutorial(译)

SymPy Tutorial

引言