Scipy:高端科学计算

scipy lecture notes

Scipy:高端科学计算

作者:Adrien Chauve, Andre Espaze, Emmanuelle Gouillart, Gaël Varoquaux, Ralf Gommers

翻译自:scipy lecture notes

译者表示最后部分没怎么看懂,此文档维护中……


Scipy

scipy包包含致力于科学计算中常见问题的各个工具箱。它的不同子模块相应于不同的应用。像插值,积分,优化,图像处理,,特殊函数等等。

scipy可以与其它标准科学计算程序库进行比较,比如GSL(GNU C或C++科学计算库),或者Matlab工具箱。scipy是Python中科学计算程序的核心包;它用于有效地计算numpy矩阵,来让numpy和scipy协同工作。

在实现一个程序之前,值得检查下所需的数据处理方式是否已经在scipy中存在了。作为非专业程序员,科学家总是喜欢\重新发明造轮子\_,导致了充满漏洞的,未经优化的,很难分享和维护的代码。相反,Scipy程序经过优化和测试,因此应该尽可能使用。


目录

  • toc {: toc}

警告:这个教程离真正的数值计算介绍很远。因为枚举scipy中不同的子模块和函数非常无聊,我们集中精力代之以几个例子来给出如何使用=scipy=进行计算的大致思想。

scipy 由一些特定功能的子模块组成:

模块 功能
scipy.cluster 矢量量化 / K-均值
scipy.constants 物理和数学常数
scipy.fftpack 傅里叶变换
scipy.integrate 积分程序
scipy.interpolate 插值
scipy.io 数据输入输出
scipy.linalg 线性代数程序
scipy.ndimage n维图像包
scipy.odr 正交距离回归
scipy.optimize 优化
scipy.signal 信号处理
scipy.sparse 稀疏矩阵
scipy.spatial 空间数据结构和算法
scipy.special 任何特殊数学函数
scipy.stats 统计

它们全依赖numpy,但是每个之间基本独立。导入Numpy和这些scipy模块的标准方式是:

import numpy as np
from scipy import stats  # 其它子模块相同

主=scipy=命名空间大多包含真正的numpy函数(尝试 scipy.cos 就是 np.cos)。这些仅仅是由于历史原因,通常没有理由在你的代码中使用=import scipy=

文件输入/输出:scipy.io

  • 导入和保存matlab文件:

    In [1]: from scipy import io as spio
    
    In [3]: import numpy as np
    
    In [4]: a = np.ones((3, 3))
    
    In [5]: spio.savemat('file.mat', {'a': a}) # savemat expects a dictionary
    /usr/lib/python2.7/site-packages/scipy/io/matlab/mio.py:266: FutureWarning: Using oned_as default value ('column') This will change to 'row' in future versions
      oned_as=oned_as)
    
    In [6]: data = spio.loadmat('file.mat', struct_as_record=True)
    
    In [7]: data['a']
    Out[7]: 
    array([[ 1.,  1.,  1.],
           [ 1.,  1.,  1.],
           [ 1.,  1.,  1.]])
    
  • 读取图片:

    In [16]: from scipy import misc
    
    In [17]: misc.imread('scikit.png')
    Out[17]: 
    array([[[255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            ..., 
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255]],
    
           [[255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            ..., 
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255]],
    
           [[255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            ..., 
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255]],
    
           ..., 
           [[255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            ..., 
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255]],
    
           [[255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            ..., 
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255]],
    
           [[255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            ..., 
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255],
            [255, 255, 255, 255]]], dtype=uint8)
    
    In [18]: import matplotlib.pyplot as plt
    
    In [19]: plt.imread('scikit.png')
    Out[19]: 
    array([[[ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            ..., 
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.]],
    
           [[ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            ..., 
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.]],
    
           [[ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            ..., 
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.]],
    
           ..., 
           [[ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            ..., 
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.]],
    
           [[ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            ..., 
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.]],
    
           [[ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            ..., 
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.],
            [ 1.,  1.,  1.,  1.]]], dtype=float32)
    

参见:

  • 载入txt文件:numpy.loadtxt()/numpy.savetxt()
  • 智能导入文本/csv文件:numpy.genfromtxt()/numpy.recfromcsv()
  • 高速,有效率但numpy特有的二进制格式:numpy.save()/numpy.load()

特殊函数:scipy.special

特殊函数是先验函数。scipy.special的文档字符串写得非常好,所以我们不在这里列出所有函数。常用的有:

  • 贝塞尔函数,如=scipy.special.jn()=(整数n阶贝塞尔函数)
  • 椭圆函数(=scipy.special.ellipj()=雅可比椭圆函数,……)
  • 伽马函数:=scipy.special.gamma()=,还要注意=scipy.special.gammaln=,这个函数给出对数坐标的伽马函数,因此有更高的数值精度。

线性代数运算:scipy.linalg

scipy.linalg模块提供标准线性代数运算,依赖于底层有效率的实现(BLAS,LAPACK)。

  • scipy.linalg.det()函数计算方阵的行列式:

    In [22]: from scipy import linalg
    
    In [23]: arr = np.array([[1, 2],
       ....:                [3, 4]])
    
    In [24]: linalg.det(arr)
    Out[24]: -2.0
    
    In [25]: linalg.det(np.ones((3,4)))
    ---------------------------------------------------------------------------
    ValueError                                Traceback (most recent call last)
    <ipython-input-25-375ad1d49940> in <module>()
    ----> 1 linalg.det(np.ones((3,4)))
    
    /usr/lib/python2.7/site-packages/scipy/linalg/basic.pyc in det(a, overwrite_a)
        398     a1 = np.asarray_chkfinite(a)
        399     if len(a1.shape) != 2 or a1.shape[0] != a1.shape[1]:
    --> 400         raise ValueError('expected square matrix')
        401     overwrite_a = overwrite_a or _datacopied(a1, a)
        402     fdet, = get_flinalg_funcs(('det',), (a1,))
    
    ValueError: expected square matrix
    

py.linalg.inv()`函数计算方阵的逆:

In [26]: arr = np.array([[1, 2],
                [3, 4]])

In [27]: iarr = linalg.inv(arr)

In [28]: iarr
Out[28]: 
array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

In [29]: np.allclose(np.dot(arr, iarr), np.eye(2))
Out[29]: True

最后计算奇异阵的逆(它的行列式为0)将会引发(raise)=LinAlgError=:

In [32]: arr = np.array([[3, 2],
                [6, 4]])

In [33]: linalg.inv(arr)
---------------------------------------------------------------------------
LinAlgError                               Traceback (most recent call last)
<ipython-input-33-52c04c854a80> in <module>()
----> 1 linalg.inv(arr)

/usr/lib/python2.7/site-packages/scipy/linalg/basic.pyc in inv(a, overwrite_a)
    346             inv_a, info = getri(lu, piv, overwrite_lu=1)
    347     if info > 0:
--> 348         raise LinAlgError("singular matrix")
    349     if info < 0:
    350         raise ValueError('illegal value in %d-th argument of internal '

LinAlgError: singular matrix
  • 还有更多高级运算,如奇异值分解(SVD):

    In [34]: arr = np.arange(9).reshape((3, 3)) + np.diag([1, 0, 1])
    
    In [35]: uarr, spec, vharr = linalg.svd(arr)
    

    它的结果数组谱是:

    In [36]: spec
    Out[36]: array([ 14.88982544,   0.45294236,   0.29654967])
    

    原始矩阵可以由svd的输出用=np.dot=点乘重新组合得到:

    In [37]: sarr = np.diag(spec)
    
    In [38]: svd_mat = uarr.dot(sarr).dot(vharr)
    
    In [39]: np.allclose(svd_mat, arr)
    Out[39]: True
    

SVD在信号处理和统计中运用很广。许多其它标准分解(QR,LU,Cholesky,Schur),还有线性系统的解也可以从scipy.linalg中获得。

快速傅里叶变换:scipy.fftpack

scipy.fftpack模块用来计算快速傅里叶变换。作为示例,一个(噪声)输入信号可能像这样:

In [40]: time_step = 0.02

In [41]: period = 5

In [42]: time_vec = np.arange(0, 20, time_step)

In [43]: sig = np.sin(2 * np.pi / period * time_vec) + \
   ....: 0.5 * np.random.randn(time_vec.size)

观测者并不指导信号频率,仅仅等间隔取样信号sig。信号应该来自一个真实的函数所以傅里叶变换将是对称的。scipy.fftpack.fftfreq()函数将生成取样频率,scipy.fftpack.fft()将计算快速傅里叶变换:

因为功率结果是对称的,仅仅需要使用谱的正值部分来找出频率:

In [48]: pidxs = np.where(sample_freq > 0)

In [49]: freqs = sample_freq[pidxs]

In [50]: power = np.abs(sig_fft)[pidxs]

信号频率可以这样被找到:

In [51]: freq = freqs[power.argmax()]

In [52]: np.allclose(freq, 1./period)
Out[52]: True

现在高频噪声将被从傅里叶变换信号中移除:

In [53]: sig_fft[np.abs(sample_freq) > freq] = 0

得到滤波信号,可以用=scipy.fftpack.ifft=函数计算:

In [54]: main_sig = fftpack.ifft(sig_fft)

结果可以这样可视化:

In [55]: plt.figure()
Out[55]: <matplotlib.figure.Figure at 0x4a9fb50>

In [56]: plt.plot(time_vec, sig)
Out[56]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x4ad3790>]

In [57]: plt.plot(time_vec, main_sig, linewidth=3)
/usr/lib/python2.7/site-packages/numpy/core/numeric.py:320: ComplexWarning: Casting complex values to real discards the imaginary part
  return array(a, dtype, copy=False, order=order)
Out[57]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x4ad3dd0>]

In [58]: plt.xlabel('Time [s]')
Out[58]: <matplotlib.text.Text at 0x4aad050>

In [59]: plt.ylabel('Amplitude')
Out[59]: <matplotlib.text.Text at 0x4aadbd0>

In [60]: plt.show()

numpy.fft

Numpy也有一个FFT实现(numpy.fft)。然而,通常scipy的应该优先使用,因为它使用了更有效率的底层实现。

工作示例:找到原始周期

工作示例:高斯图像模糊

卷积:

\[ f_1(t) = \int dt'K(t-t')f_0(t') \]

\[ \tilde{f_1}(\omega)=\tilde{K}(\omega)\tilde{f_0}(\omega) \]

练习:登月图片消噪

moonlanding.png
Figure 1: moonlanding.png
  1. 检查提供的图像moonlanding.png,该图像被周期噪声严重污染了。在这个练习中,我们旨在使用快速傅里叶变换清除噪声。
  2. 用=plt.imread=加载图像。
  3. 使用=scipy.fftpack=中的2-D傅里叶函数找到并绘制图像的谱线(傅里叶变换)。可视化这个谱线对你有问题吗?如果有,为什么?
  4. 这个谱包含高频和低频成分。噪声是在谱线的高频部分中,所以设置一些成分为0(使用数组切片)。
  5. 应用逆傅里叶变换来看最后的图像。
p_large_PyL8_4bee00000f241263.jpg
Figure 2: 我的消除噪声实例……

优化和拟合:scipy.optimize

优化是找到最小值或等式的数值解的问题。

=scipy.optimization=子模块提供了函数最小值(标量或多维)、曲线拟合和寻找等式的根的有用算法。

from scipy import optimize

找到标量函数的最小值

让我们定义以下函数

In [2]: def f(x):
   ...:     return x**2 + 10 * np.sin(x)

然后绘制它:

In [3]: x = np.arange(-10, 10, 0.1)

In [4]: plt.plot(x, f(x))
Out[4]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x3e2a4d0>]

In [5]: plt.show()
scipy_optimize_example1.png
Figure 3: optimization

该函数在大约-1.3有个全局最小值,在3.8有个局部最小值。

找到这个函数最小值一般而有效的方法是从初始点使用梯度下降法。BFGS算法1是做这个的好方法:

In [6]: optimize.fmin_bfgs(f, 0)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: -7.945823
         Iterations: 5
         Function evaluations: 24
         Gradient evaluations: 8
Out[6]: array([-1.30644003])

这个方法一个可能的问题在于,如果函数有局部最小值,算法会因初始点不同找到这些局部最小而不是全局最小:

In [7]: optimize.fmin_bfgs(f, 3, disp=0)
Out[7]: array([ 3.83746663])

如果我们不知道全局最小值的邻近值来选定初始点,我们需要借助于耗费资源些的全局优化。为了找到全局最小点,最简单的算法是蛮力算法2,该算法求出给定格点的每个函数值。

In [10]: grid = (-10, 10, 0.1)

In [11]: xmin_global = optimize.brute(f, (grid,))

In [12]: xmin_global
Out[12]: array([-1.30641113])

对于大点的格点,=scipy.optimize.brute()=变得非常慢。=scipy.optimize.anneal()=提供了使用模拟退火的替代函数。对已知的不同类别全局优化问题存在更有效率的算法,但这已经超出scipy的范围。一些有用全局优化软件包是OpenOptIPOPTPyGMOPyEvolve

为了找到局部最小,我们把变量限制在=(0, 10)=之间,使用=scipy.optimize.fminbound()=:

In [13]: xmin_local = optimize.fminbound(f, 0, 10)

In [14]: xmin_local
Out[14]: 3.8374671194983834

*注意:*在高级章节部分数学优化:找到函数最小值中有关于寻找函数最小值更详细的讨论。

找到标量函数的根

为了寻找根,例如令=f(x)=0=的点,对以上的用来示例的函数=f=我们可以使用=scipy.optimize.fsolve()=:

In [17]: root = optimize.fsolve(f, 1)  # 我们的初始猜测是1

In [18]: root
Out[18]: array([ 0.])

注意仅仅一个根被找到。检查f的图像在-2.5附近有第二个根。我们可以通过调整我们的初始猜测找到这一确切值:

In [19]: root = optimize.fsolve(f, -2.5)

In [20]: root
Out[20]: array([-2.47948183])

曲线拟合

假设我们有从被噪声污染的f中抽样到的数据:

In [21]: xdata = np.linspace(-10, 10, num=20)

In [22]: ydata = f(xdata) + np.random.randn(xdata.size)

如果我们知道函数形式(当前情况是=x2 + sin(x)=),但是不知道幅度。我们可以通过最小二乘拟合拟合来找到幅度。首先我们定义一个用来拟合的函数:

In [23]: def f2(x, a, b):
   ....:     return a*x**2 + b*np.sin(x)

然后我们可以使用=scipy.optimize.curvefit()=来找到a和b:

In [24]: guess = [2, 2]

In [25]: params, params_covariance = optimize.curve_fit(f2, xdata, ydata, guess)

In [26]: params
Out[26]: array([  1.00439471,  10.04911441])

现在我们找到了f的最小值和根并且对它使用了曲线拟合。我们将一切放在一个单独的图像中:

scipy_optimize_example2.png
Figure 4: function

*注意:*Scipy>=0.11中提供所有最小化和根寻找算法的统一接口=scipy.optimize.minimize()=,=scipy.optimize.minimizescalar()=和=scipy.optimize.root()=。它们允许通过method关键字方便地比较不同算法。

你可以在=scipy.optimize=中找到用来解决多维问题的相同功能的算法。

练习:曲线拟合温度数据

在阿拉斯加每个月的温度上下限,从一月开始,以摄氏单位给出。

max: 17, 19, 21, 28, 33, 38, 37, 37, 31, 23, 19, 18
min: -62, -59, -56, -46, -32, -18, -9, -13, -25, -46, -52, -58
  1. 绘制这些温度限
  2. 定义函数来描述最小和最大温度。提示:这个函数以一年为周期。提示:包括时间偏移。
  3. 对数据使用这个函数=scipy.optimize.curvefit()=
  4. 绘制结果。是否拟合合理?如果不合理,为什么?
  5. 拟合精度的最大最小温度的时间偏移是否一样?

练习:2维最小化

source code

六峰值驼背函数:

\[ f(x,y) = (4 - 2.1x^2 + \frac{x^4}{3})x^2 + xy + (4y^2 - 4)y^2 \]

有全局和多个局部最小。找到这个函数的全局最小。

提示:

  • 变量应该限制在=-2 < x < 2 , -1 < y < 1=.
  • 使用=numpy.meshgrid()=和=plt.imshow=来可视地搜寻区域。
  • 使用=scipy.optimize.fminbfgs()=或其它多维极小化器。

这里有多少极小值?这些点上的函数值是多少?如果初始猜测是=(x, y) = (0, 0)=会发生什么?

参见总结练习非线性最小二乘拟合:在点抽取地形激光雷达数据上的应用,来看另一个,更高级的例子。

统计和随机数: scipy.stats

=scipy.stats=包括统计工具和随机过程的概率过程。各个随机过程的随机数生成器可以从=numpy.random=中找到。

直方图和概率密度函数

给定一个随机过程的观察值,它们的直方图是随机过程的pdf(概率密度函数)的估计器:

In [1]: import numpy as np

In [2]: a = np.random.normal(size=1000)

In [3]: bins = np.arange(-4, 5)

In [4]: bins
Out[4]: array([-4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4])

In [5]: histogram = np.histogram(a, bins=bins, normed=True)[0]

In [6]: bins = 0.5*(bins[1:] + bins[:-1])

In [7]: bins
Out[7]: array([-3.5, -2.5, -1.5, -0.5,  0.5,  1.5,  2.5,  3.5])

In [8]: from scipy import stats

In [9]: b = stats.norm.pdf(bins)  # norm是正态分布

In [10]: import matplotlib.pyplot as plt

In [11]: plt.plot(bins, histogram)
Out[11]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x3378b10>]

In [12]: plt.plot(bins, b)
Out[12]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x3378fd0>]

In [13]: plt.show()

如果我们知道随机过程属于给定的随机过程族,比如正态过程。我们可以对观测值进行最大似然拟合来估计基本分布参数。这里我们对观测值拟合一个正态过程:

In [14]: loc, std = stats.norm.fit(a)

In [15]: loc
Out[15]: 0.0052651057415999758

In [16]: std
Out[16]: 0.97945439802779732

练习:概率分布

从参数为1的伽马分布生成1000个随机数,然后绘制这些样点的直方图。你能够在其上绘制pdf吗(应该匹配)?

另外:这些分布有些有用的方法。通过阅读它们的文档字符串或使用IPython的tab补全来探索它们。你能够通过对你的随机变量使用拟合找到形状参数1吗?

百分位

中位数是来观测值之下一半之上一半的值。

In [3]: np.median(a)
Out[3]: -0.047679175711778043

它也被叫作50百分位点,因为有50%的观测值在它之下:

In [6]: stats.scoreatpercentile(a, 50)
Out[6]: -0.047679175711778043

同样我们可以计算百分之九十百分点:

In [7]: stats.scoreatpercentile(a, 90)
Out[7]: 1.2541592439997036

百分位是CDF的一个估计器(累积分布函数)。

统计检测

统计检测是决策指示。例如,我们有两个样本集,我们假设它们由高斯过程生成。我们可以使用T检验来决定是否两个样本值显著不同:

In [8]: a = np.random.normal(0, 1, size=100)

In [9]: b = np.random.normal(1, 1, size=10)

In [10]: stats.ttest_ind(a, b)
Out[10]: (array(-2.4119199601156796), 0.01755485116571583)

输出结果由以下部分组成:

  • T统计量:它是这么一种标志,与不同两个随机过程之间成比例并且幅度和差异的显著程度有关3
  • p值:两个过程相同的概率。如果接近1,这两个过程是几乎完全相同的。越靠近零,两个过程越可能有不同的均值。

插值:scipy.interpolate

=scipy.interpolate=对从实验数据拟合函数来求值没有测量值存在的点非常有用。这个模块基于来自netlib项目的FITPACK Fortran 子程序

通过想象接近正弦函数的实验数据:

In [1]: measured_time = np.linspace(0, 1, 10)

In [2]: noise = (np.random.random(10)*2 - 1) * 1e-1

In [3]: measures = np.sin(2 * np.pi * measured_time) + noise

=scipy.interpolate.interp1d=类会构建线性插值函数:

In [4]: from scipy.interpolate import interp1d

In [5]: linear_interp = interp1d(measured_time, measures)

然后=scipy.interpolate.linearinterp=实例需要被用来求得感兴趣时间点的值:

In [6]: computed_time = np.linspace(0, 1, 50)

In [7]: linear_results = linear_interp(computed_time)

三次插值也能通过提供可选关键字参数=kind=来选择:4

In [8]: cubic_interp = interp1d(measured_time, measures, kind='cubic')

In [9]: cubic_results = cubic_interp(computed_time)

结果现在被集合在以下Matplotlib图像中:

scipy_interpolation.png
Figure 5: interpolate

source code

=scipy.interpolate.interp2d=与=scipy.interpolate.interp1d=相似,但是面向二维数组。注意,对\interp\,计算时间必须在测量时间范围内。参见Maximum wind speed prediction at the Sprogø station的总结练习获得更高级的插值示例。

数值积分:scipy.integrate Fusy,

最通用的积分程序是=scipy.integrate.quad()=:

In [10]: from scipy.integrate import quad

In [11]: res, err = quad(np.sin, 0, np.pi/2)

In [12]: np.allclose(res, 1)
Out[12]: True

In [13]: np.allclose(err, 1 - res)
Out[13]: True

其它可用的积分方案有=fixedquad=,=quadrature=,=romberg=。

=scipy.integrate=也是用来积分常微分方程(ODE)的功能程序。特别是,=scipy.integrate.odeint()=是个使用LSODA(Livermore Solver for Ordinary Differential equations with Automatic method switching for stiff and non-stiff problems)通用积分器。参见ODEPACK Fortran library获得更多细节。

=odeint=解决这种形式的一阶ODE系统:

``dy/dt = rhs(y1, y2, .., t0,...)``

作为简介,让我们解决ODE=dy/dt = -2y=,区间=t = 0..4=,初始条件=y(t=0) = 1=。首先函数计算导数的位置需要被定义:

In [17]: def calc_derivative(ypos, time, counter_arr):
   ....:     counter_arr += 1
   ....:     return -2 * ypos                                               
   ....:     

一个额外的参数=counterarr=被添加,用来说明函数可能在单个时间步中被多次调用,直到解收敛。计数数组被定义成:

In [18]: counter = np.zeros((1,), dtype=np.uint16)            

弹道将被计算:

In [19]: from scipy.integrate import odeint                                 
In [20]: time_vec = np.linspace(0, 4, 40)                                   
In [21]: yvec, info = odeint(calc_derivative, 1, time_vec,
   ....: args=(counter,), full_output=Tru)

因此导函数可以被调用40次(即时间步长数),

In [22]: counter
Out[22]: array([129], dtype=uint16)

十个最初的时间点(time step)每个的累积迭代次数,可以这样获得:

In [23]: info['nfe'][:10]
Out[23]: array([31, 35, 43, 49, 53, 57, 59, 63, 65, 69], dtype=int32)

注意到在第一个时间步的解需要更多的迭代。解=yvec=的轨道现在可以被画出:

odeint_introduction.png
Figure 6: ODE

source code

另一个使用=scipy.integrate.odeint()=的例子是一个阻尼弹簧-质点振荡器(二阶振荡)。附加在弹簧上质点的位置服从二阶常微分方程=y'' + eps wo y' + wo2 y= 0=。其中=wo2 = k/m=,k是弹簧常数,m是质量,=eps=c/(2 m wo)=,c是阻尼系数。(译者:为什么不用latex……)对于这个例子,我们选择如下参数:

In [24]: mass = 0.5  # kg

In [25]: kspring = 4  # N/m

In [26]: cviscous = 0.4  # N s/m

所以系统将是阻尼振荡,因为:

In [27]: eps = cviscous / (2 * mass * np.sqrt(kspring/mass))

In [28]: eps < 1
Out[28]: True

对于=scipy,integrate.odeint()=求解器,二阶方程需要被转化成一个包含向量=Y =y,y'=的两个一阶方程的系统。定义=nu = 2 eps * wo = c / m=和=om = wo2 = k/m=很方便:

In [29]: nu_coef = cviscous /mass

In [30]: om_coef = kspring / mass

因此函数将计算速度和加速度通过:

In [31]: def calc_deri(yvec, time, nuc, omc):
   ....:     return (yvec[1], -nuc * yvec[1] - omc * yvec[0])
   ....: 

In [32]: time_vec = np.linspace(0, 10, 100)

In [33]: yarr = odeint(calc_deri, (1, 0), time_vec, args=(nu_coef, om_coef))

最终的位置和速度在如下Matplotlib图像中显示:

odeint_damped_spring_mass.png
Figure 7: ode2

source code

Scipy中不存在偏微分方程(PDE)求解器,一些解决PDE问题的Python软件包可以得到,像fipySfePy

(译者注:Python科学计算中洛伦兹吸引子微分方程的求解

信号处理:scipy.signal

In [34]: from scipy import signal
  • =scipy.signal.detrend()=:移除信号的线性趋势:

    In [35]: t = np.linspace(0, 5, 100)
    
    In [36]: x = t + np.random.normal(size=100)
    
    In [39]: import pylab as pl
    
    In [40]: pl.plot(t, x, linewidth=3)
    Out[40]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x3903c90>]
    
    In [41]: pl.plot(t, signal.detrend(x), linewidth=3)
    Out[41]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x3b38810>]
    
demo_detrend.png
Figure 8: detrend

source code

  • scipy.signal.resample():使用FFT重采样n个点。

    In [42]: t = np.linspace(0, 5, 100)
    
    In [43]: x = np.sin(t)
    
    In [44]: pl.plot(t, x, linewidth=3)
    Out[44]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x3f08a90>]
    
    In [45]: pl.plot(t[::2], signal.resample(x, 50), 'ko')
    Out[45]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x3f12950>]
    
demo_resample.png
Figure 9: resample

source code

  • Signal中有许多窗函数:scipy.signal.hamming(), scipy.signal.bartlett(), scipy.signal.blackman()…
  • Signal中有滤波器(中值滤波scipy.signal.medfilt(), 维纳滤波scipy.signal.wiener()),但是我们将在图像部分讨论。

图像处理:scipy.ndimage

scipy中致力于图像处理的子模块是=scipy,ndimage=。

In [49]: from scipy import ndimage

图像处理程序可以根据它们执行的操作类别来分类。

图像的几何变换

改变方向,分辨率……

In [50]: from scipy import misc

In [51]: lena = misc.lena()

In [52]: shifted_lena = ndimage.shift(lena, (50, 50))

In [53]: shifted_lena2 = ndimage.shift(lena, (50, 50), mode='nearest')

In [54]: rotated_lena = ndimage.rotate(lena, 30)

In [55]: cropped_lena = lena[50:-50, 50:-50]

In [56]: zoomed_lena = ndimage.zoom(lena, 2)

In [57]: zoomed_lena.shape
Out[57]: (1024, 1024)

In [63]: pl.subplot(321)
Out[63]: <matplotlib.axes.AxesSubplot at 0x4c00d90>

In [64]: pl.imshow(lena, cmap=cm.gray)
Out[64]: <matplotlib.image.AxesImage at 0x493aad0>

In [65]: pl.subplot(322)
Out[65]: <matplotlib.axes.AxesSubplot at 0x4941a10>

In [66]: #等等

图像滤镜

In [76]: from scipy import misc

In [77]: lena = misc.lena()

In [78]: import numpy as np

In [79]: noisy_lena = np.copy(lena).astype(np.float)

In [80]: noisy_lena += lena.std()*0.5*np.random.standard_normal(lena.shape)

In [81]: blurred_lena = ndimage.gaussian_filter(noisy_lena, sigma=3)

In [82]: median_lena = ndimage.median_filter(blurred_lena, size=5)

In [83]: from scipy import signal

In [84]: wiener_lena = signal.wiener(blurred_lena, (5,5))

许多其它=scipy.ndimage.filters=和=scipy.signal=中的滤镜可以被应用到图像中。

练习

比较不同滤镜图像的直方图

数学形态学

数学形态学是源于几何论的数学形态学。它具有结合结构的特点并变换几何结构。二值图(黑白图),特别能被用该理论转换:要转换的集合是邻近的非零值像素。这个理论也被拓展到灰度图中。

基本的数学形态操作使用一个\结构元素(structuring element)\来改变其它几何结构

让我们首先生成一个结构元素:

In [129]: el = ndimage.generate_binary_structure(2, 1)

In [130]: el
Out[130]: 
array([[False,  True, False],
       [ True,  True,  True],
       [False,  True, False]], dtype=bool)

In [131]: el.astype(np.int)
Out[131]: 
array([[0, 1, 0],
       [1, 1, 1],
       [0, 1, 0]])
  • 腐蚀

    In [132]: a = np.zeros((7,7), dtype=int)

    In [133]: a[1:6, 2:5] = 1

    In [134]: a Out[134]: array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]])

    In [135]: ndimage.binary\erosion(a).astype(a.dtype) Out[135]: array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]])

    In [xxx]:# 腐蚀移除对象使结构更小

    In [136]: ndimage.binary\erosion(a, structure=np.ones((5,5))).astype(a.dtype) Out[136]: array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]])

  • 膨胀

    In [137]: a = np.zeros((5,5))

    In [138]: a[2, 2] = 1

    In [139]: a Out[139]: array([[ 0., 0., 0., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.], [ 0., 0., 1., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.]])

    In [140]: ndimage.binary\dilation(a).astype(a.dtype) Out[140]: array([[ 0., 0., 0., 0., 0.], [ 0., 0., 1., 0., 0.], [ 0., 1., 1., 1., 0.], [ 0., 0., 1., 0., 0.], [ 0., 0., 0., 0., 0.]])

  • 开操作(opening)

    In [141]: a = np.zeros((5,5), dtype=np.int)

    In [142]: a[1:4, 1:4] = 1; a[4, 4] = 1

    In [143]: a Out[143]: array([[0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]])

    In [144]: # 开操作可以移除小的对象

    In [145]: ndimage.binary\opening(a, structure=np.ones((3,3))).astype(np.int)Out[145]: array([[0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 0]])

    In [146]: # 开操作也能平滑边角

    In [147]: ndimage.binary\opening(a).astype(np.int) Out[147]: array([[0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0]])

  • 闭操作(closing): ndimage.binary_closing

练习

查看开操作腐蚀,然后膨胀的量

一个开操作移除小的结构,而一个闭操作填补小的空洞。这种操作因此可被用来“清理”图像。

In [149]: a = np.zeros((50, 50))

In [150]: a[10:-10, 10:-10] = 1

In [151]: a += 0.25*np.random.standard_normal(a.shape)

In [152]: mask = a>=0.5

In [153]: opened_mask = ndimage.binary_opening(mask)

In [154]: closed_mask = ndimage.binary_closing(opened_mask)

练习

验证重构区域比初始区域更小。(如果闭操作在开操作之前则相反)

对灰度值图像,腐蚀(或者是膨胀)相当于用被集中在所关心像素点的结构元素所覆盖像素的最小(或最大)值替代当前像素点。

In [173]: a = np.zeros((7,7), dtype=np.int)

In [174]: a[1:6, 1:6] = 3

In [175]: a[4,4] = 2; a[2,3] = 1

In [176]: a
Out[176]: 
array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 3, 3, 3, 3, 3, 0],
       [0, 3, 3, 1, 3, 3, 0],
       [0, 3, 3, 3, 3, 3, 0],
       [0, 3, 3, 3, 2, 3, 0],
       [0, 3, 3, 3, 3, 3, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]])

In [177]: ndimage.grey_erosion(a, size=(3,3))
Out[177]: 
array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0],
       [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0],
       [0, 0, 3, 2, 2, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]])

图像测量

让我们首先生成一个漂亮的合成图像:

In [178]: x, y = np.indices((100, 100))

In [179]: sig = np.sin(2*np.pi*x/50.)*np.sin(2*np.pi*y/50.)*(1+x*y/50.**2)**2

In [180]: mask = sig > 1

现在我们查找图像中对象的各种信息:

In [181]: labels, nb = ndimage.label(mask)

In [182]: nb
Out[182]: 8

In [183]: areas = ndimage.sum(mask, labels, xrange(1, labels.max()+1))

In [184]: areas
Out[184]: array([ 190.,   45.,  424.,  278.,  459.,  190.,  549.,  424.])

In [185]: maxima = ndimage.maximum(sig, labels, xrange(1, labels.max()+1))
In [186]: maxima
Out[186]: 
array([  1.80238238,   1.13527605,   5.51954079,   2.49611818,
         6.71673619,   1.80238238,  16.76547217,   5.51954079])

In [187]: ndimage.find_objects(labels==4)
Out[187]: [(slice(30L, 48L, None), slice(30L, 48L, None))]

In [188]: sl = ndimage.find_objects(labels==4)

In [189]: import pylab as pl

In [190]: pl.imshow(sig[sl[0]])  
Out[190]: <matplotlib.image.AxesImage at 0xb2fdcd0>

参见总结练习Image processing application: counting bubbles and unmolten grains获取更多高级示例。

总结练习

(译者:我不是很懂……)

总结练习主要使用Numpy,Scipy和Matplotlib。它们提供一些现实生活中用Python计算的示例。既然基本的Numpy和scipy使用已经被介绍了,欢迎有兴趣的用户尝试这些练习。

练习:

斯普罗站最大风速预测

非线性最小二乘拟合:地形雷达数据的点提取

图像处理应用:计数气泡和未融颗粒

建议的解:

图像处理练习解的示例:玻璃中的未融颗粒

Footnotes:

3

……这解释,我真不懂。但t统计量是什么我知道……

4

numpy 0.17可能会有bug