从哥德尔不完备定理而来的遐思

从哥德尔不完备定理开始的遐思

从哥德尔定理   ATTACH

哥德尔不完备定理的提出不仅浇灭了数学界无冕之王希尔伯特完善数学大厦的美梦。

甚至一举粉碎了自古希腊以来千万数学家传承了2000多年的信念。

---https://zhuanlan.zhihu.com/p/26703073

二十世纪初期,或者也许几千年一来,或者人类之前并不这么重视 数学的严谨性。

但是到了二十世纪初期,数学家们觉得自己在形式逻辑的基础上,可以尝试从少 数几条公理和人类所共有的逻辑推理法则,构建出所有科学的基石。1

但哥德尔定理说明这是不可能的。

哥德尔说了什么呢?

第一定理说:任何比数论更复杂的公理体系,如果它是一致的,都不存在一个有 效的过程证明关于这个系统所能表达的所有的真理。

First Incompleteness Theorem: "Any consistent formal system F within which a certain amount of elementary arithmetic can be carried out is incomplete; i.e., there are statements of the language of F which can neither be proved nor disproved in F." (Raatikainen 2015)

– Wikipedia

哥德尔证明这个定理的方式非常神奇。GEB中描述这一过程和禅宗的世界观,和 艾舍尔的版画,和巴赫的音乐有着惊人的共通性。

正如禅宗的公案通过矛盾使人跳出系统实现更高层次的感悟,艾舍尔的版画通过 视觉和空间直觉的矛盾让人产生超出系统的艺术感受,巴赫的音乐通过音乐结构 的模棱两可和矛盾让人产生异样的感受。艾舍尔通过构造一个描述陈述自己的陈 述,创造了形式系统内一个无法判定的矛盾存在。

沩山和尚,始在百丈会中,充典座。

百丈将选大沩主人,乃请同首座。对众下语:「出格者可往!」

百丈遂拈净瓶,置地上。设问云:「不得唤作净瓶,汝唤作甚么?」

首座乃云:「不可唤作木[木*突]也!」

百丈却问于山,山乃趯倒净瓶而去。

百丈笑云:「第一座轮却山子,也因命之为开山。」

http://blog.sina.com.cn/s/blog_eb35211d0102v3kl.html

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无穷下降的音调: 点击试听. 这个叫做Shepard Tone.

–来自维基百科

哥德尔所做的事情,像构造出下面一句话:

这句话是假的

这句话我们最终不知道真假,但是哥德尔句子我们却能知道是 真的 2 ,但是系统不能 给出真假。这也就是神奇之处,在一个系统内,生生通过自指,超越了自身。

于是我们知道,有些真的东西,系统给不出真假,但是仅仅通过系统我们也知道 它是真的,即使我们不能证明。

第一定理直接导致第二定理。

第二定理:在一个如数论复杂的体系内3,系统没有能力证明自己的一致性。

就像我们也许永远也没有能力证明自己是对的,然而我们知道是真的。

如果想了解更多哥德尔不完备定理,推荐赵昊彤科学网博客.

当七年前的某个晚上,我在江南大学一楼的阅览室翻看一本叫做《逻辑的引擎》 的书,我想我现在终于明白,这本书最华丽的部分到底在说什么了。

哲学思考

我一度以为,哥德尔定理体现了人类智能的边界。它证明了“逻辑”本身的边界,人 类永远也到达不了真理的边界。

但从另一个角度来看,哥德尔的定理,恰恰说明了人类有通过逻辑超越逻辑的能 力,认知与科学的进步空间是永无止境的。

我们永远无法穷尽世界的真理,因为世界永远都值得探索,超越永无止境。

没有完全的知识,没有绝对的真理。

也正印证了这几千年来的科学史观,或者物理学史观上对科学理论的看法。4

什么是艺术

《GEB》让我对艺术本身产生了一些想法。

《美学散步》中宗白华探讨过美是外在还是内在,客观还是主观。5 我看 完之后依然感觉很模糊,艺术感从何处来?什么是艺术? 艺术品和非艺术品的本质区别是什么?

尽日寻春不见春,

芒鞋踏遍陇头云,

归来笑拈梅花嗅,

春在枝头已十分。

为什么看到艾舍尔的版画,听到巴赫的音乐,甚至看到哥德尔定理的证明,我们 都会产生一种,这是艺术的感觉?

我想因为这其中的同构,无论是文艺作品,数学哲学,宗教思想,它都让我们感 觉我们和世界紧密相连,而我们自身与世界又必然是割裂的。这种模糊不清的同 理心,是艺术感的来源。

人们常说,伟大的艺术品是直击心灵的。它们与石头泥头一样没有情感,却生生 从没有生命力的东西里产生了生命力。这和哥德尔构造哥德尔句子是何其地相似!

我想艺术,就是从无生命的事物中,创造出感受者本身的一部分吧。让欣赏艺术 的人看到自己,从这个矛盾的哥德尔句子中,超出已有的系统,认识到新的世界。

人生哲学

你相信的本是真的,是真的你才相信。先有鸡先有蛋?

宗教或者哲学一直都有一个接近于“真如如一,具有不变异性”的理念。

道家的道与环中,佛教的真如。

从很早的时候开始人类就明白,一旦有分别心,就不再具有绝对的真理。

从另一个角度来看,宗教和哲学中追求的真理永远也不可能达到。人从生来就与 世界割裂,终于所有的认知和理念都几乎是“信念”。

这些信念,像一个特定系统的哥德尔句子,你不知道它具体是什么,你无法向他 人证明,甚至无法说服自己。直到你被逼着认识到系统的局限,从其中跳出。

也许你将知道它存在,且它是真的。

另一方面,科学唯物主义坚持用发展的观点看待事物。

你的信念本身塑造了你的信念。

终于一切像一个指向自己的圆环。

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Footnotes:

1

数学与计算机哲学史科普读物: 逻辑的引擎

2

因为我们不可证哥德尔句子本身说明了这句话为真,这个结论不是通过逻 辑推理本身,而是通过逻辑推理矛盾得来。

3

皮亚诺公理体系。

4

考虑从经典力学到量子力学的发展,数学自身也是。但数学的独特之处 是联系万物的科学。